Abstract

Discuterò di due problemi variazionali legati alla derivazione via Gamma-convergenza di funzionali elasto-plastici dipendenti dal gradiente di deformazione, tramite omogeneizzazione di dislocazioni 
semi-discrete.

Nel primo problema, l'energia elastica nonlineare è minimizzata su N copie distinte dell'insieme delle rotazioni, e matrici appartenenti a pozzi diversi possono avere connessioni di rango 1. Un modello limite può essere ricavato aggiungendo una perturbazione singolare dipendente dalla divergenza della deformazione all'energia elastica. Lo strumento chiave per tale derivazione è una stima quantitativa di rigidità, che estende  classici risultati di Friesecke, James, Mueller, Scardia e 
Zeppieri nel caso di un singolo pozzo. Nella diseguaglianza che otteniamo, la distanza di una deformazione da un singolo pozzo è controllata in termini sia della divergenza che del rotore del campo, e dalla distanza dall'insieme dei minimi.

In questo risultato, come usuale, l'energia semi-discreta non è definita sull'intera confugurazione di riferimento, ma piccole regioni attorno ai nuclei di dislocazione devono essere artificialmente escluse per avere competitori a energia finita. Come alternativa a tale approccio, nella seconda parte mostrerò che funzionali nonlocali dipendenti da trasformate di tipo Riesz di ordine (1-alpha) della deformazione, definiti sull'intero dominio, generano un modello locale di plasticità gradiente come in Garroni-Leoni-Ponsiglione 2010, nel limite per alpha tendente a 0.

Lavori in collaborazione con S. Almi, M. Caponi e D. Reggiani (Napoli) e M. Friedrich (Erlangen).